\chapter{弗里德曼方程的推导（1922）}

	\begin{abstract}
		本文详细推导了亚历山大·弗里德曼(Alexander Friedmann)于1922年提出的描述膨胀宇宙的动力学方程——弗里德曼方程。基于爱因斯坦场方程和各向同性度规假设，通过严格数学推导得到了描述宇宙尺度因子演化的基本方程，并讨论了其物理意义。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1922年，俄罗斯物理学家亚历山大·弗里德曼在爱因斯坦广义相对论框架下，首次推导出了描述均匀各向同性宇宙演化的动力学方程，即弗里德曼方程。这项工作为现代物理宇宙学奠定了基础。
	
	\section{度规假设}
	考虑一个满足宇宙学原理的均匀各向同性宇宙，其时空度规可表示为Friedmann-Robertson-Walker(FRW)度规：
	
	\begin{equation}
		ds^2 = -c^2dt^2 + a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)\right]
	\end{equation}
	
	其中：
	\begin{itemize}
		\item $a(t)$ 是宇宙尺度因子
		\item $k$ 表示空间曲率（$k=-1,0,+1$）
		\item $(r,\theta,\phi)$ 是共动坐标
	\end{itemize}
	
	\section{爱因斯坦场方程}
	弗里德曼从爱因斯坦场方程出发：
	
	\begin{equation}
		G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}
	\end{equation}
	
	其中：
	\begin{itemize}
		\item $G_{\mu\nu}$ 是爱因斯坦张量
		\item $T_{\mu\nu}$ 是能量-动量张量
		\item $\Lambda$ 是宇宙学常数
	\end{itemize}
	
	对于理想流体，能量-动量张量为：
	
	\begin{equation}
		T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}
	\end{equation}
	
	其中$\rho$是能量密度，$p$是压强，$u_\mu$是四维速度。
	
	\section{弗里德曼方程的推导}
	\subsection{00分量方程}
	计算爱因斯坦张量的00分量：
	
	\begin{equation}
		G_{00} = 3\left(\frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{kc^2}{a^2}\right)
	\end{equation}
	
	对应的能量-动量张量分量为：
	
	\begin{equation}
		T_{00} = \rho c^2
	\end{equation}
	
	因此得到第一个弗里德曼方程：
	
	\begin{equation}
		\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}
	\end{equation}
	
	定义哈勃参数$H \equiv \dot{a}/a$，方程可写为：
	
	\begin{equation}
		H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}
	\end{equation}
	
	\subsection{ii分量方程}
	空间分量（ii分量）给出：
	
	\begin{equation}
		\frac{2\ddot{a}}{a} + \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{kc^2}{a^2} = -\frac{8\pi G}{c^2}p + \Lambda c^2
	\end{equation}
	
	结合第一个方程，可以得到第二个弗里德曼方程：
	
	\begin{equation}
		\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}
	\end{equation}
	
	\section{讨论}
	1922年弗里德曼原始推导中考虑了$\Lambda=0$的情况。这两个方程描述了宇宙的动力学演化：
	
	1. 第一个方程联系了哈勃膨胀率与宇宙物质含量和几何
	
	2. 第二个方程描述了宇宙加速/减速的动力学
	
	\section{结论}
	弗里德曼方程是现代宇宙学的基石，为研究宇宙演化提供了基本框架。1922年的原始推导展示了如何从爱因斯坦广义相对论得出描述宇宙动力学的方程。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{friedmann1922} 
		Friedmann, A. (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Zeitschrift für Physik. 10 (1): 377-386.
		
		\bibitem{einstein1915}
		Einstein, A. (1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844-847.
		
		\bibitem{weinberg1972}
		Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology. Wiley.
	\end{thebibliography}
	